बेलन

किसी आयत को उसकी एक भुजा के परित: घुमाने पर जो आकृति बनती है उसे बेलन कहते है।
बेलन के आधार एवं उपरी छोर पर बने वृत्त का क्षेत्रफल समान होता है।

बेलन का आयतन = बेलन के आधार पर बने वृत्त का क्षेत्रफल × ऊंचाई

= πr² x h

बेलन का वक्र पृष्ट - सिरे और आधार  को छोड़ कर बेलन के समस्त क्षेत्र को वक्र पृष्ठ कहा जाता है।

अत: वक्र पृष्ठ = आधार का परिमाप × ऊंचाई

आधार का परिमाप = 2πr

वक्र पृष्ठ = 2πrh

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्र पृष्ठ + 2 × आधार का क्षेत्रफल

  = 2πrh + 2πr²

= 2πr (h+r)

नोट - जब किसी आयताकार वस्तु को मोड़ कर बेलन बनाया जाता है तो जिस भुजा के अनुदिश घुमाया जाता है वह बेलन के उचाई एवं दूसरी भुजा बेलन के परिधि के बराबर होती है

प्रश्न 1- एक बेलन का आधार 14 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त है इसकी ऊंचाई 5 मीटर है बेलन का आयतन और संपूर्ण सतह ज्ञात कीजिए ?

बेलन का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई

= πr² ×h

= (22/7) ×14×14×5

= 8030 घन मीटर

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr (h+r)

= 2(22/7)×14(5+14)

=1672 वर्ग मीटर

प्रश्न (2) -एक लंब वृत्तीय बेलन का आयतन वक्र पृष्ठ तथा संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए जिसकी लंबाई 80 सेंटीमीटर तथा आधार की त्रिज्या 3.5 सेंटीमीटर है?

r= 3.5       h= 80

आयतन = πr²h

= 22/7  ×  3.5  ×  3.5  × 80

= 3080 सेमी.

वक्र पृष्ठ = 2πrh

= 2  ×  22/7  × 3.5  × 80

= 1760

बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr ( h+r)

= 2× 22/7  × 3.5 ( 80 + 3.5 )

= 1837 वर्ग सेमी.

प्रश्न (3)- एक आयताकार कागज का टुकड़ा जो 44 सेमी लंबा एवं 10 सेंटीमीटर चौड़ा है चौड़ाई के अनुदिश मोड़ पर एक वेलन बनाया जाता है बेलन का आयतन क्या होगा?

आधार की परिधि = आयताकार कागज की लम्बाई

2πr = 44

r = 44/2π

= (44×7 /2×22)

= 7सेमी

बेलन की ऊंचाई = आयताकार कागज की चौड़ाई

h = 10 सेमी

बेलन का आयतन = πr²h

22/7 × 7× 7 × 10

= 1540 घन सेमी.

प्रश्न (4) - 3.5मीटर त्रिज्या वाले 40 मीटर गहरे कुएं की खुदाई से कितनी मिट्टी प्राप्त होगी?

मिटटी का आयतन = कुंए का आयतन

r = 3.5 मीटर       h = 40

आयतन = 22/7 × 3.5 × 3.5 ×40

= 1540

प्रश्न (5) - दो लंब वृत्तीय बेलन के आयतन बराबर है तथा उनकी ऊचाइयों का अनुपात 1:3 है तो दोनों की त्रिज्या का अनुपात अनुपात क्या होगा?

दोनों के आयतन बराबर है

उचाई h और 3h

πR²h = πr²3h
R²h    = r²3h

R²/r²    =  3/1

R/r  = √(3/1)

√3 : 1

प्रश्न(6)- एक ठोस बेलन के आधार की त्रिज्या तथा ऊंचाई का योग 37 है यदि बेलन का संपूर्ण पृष्ठ 1628 वर्ग मीटर है तो आयतन कितना होगा?

सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr(h+r)

1628 = 2× 22/7 ×  r  (37)

       r   =  7 मीटर

r + h = 37

7 + h = 37

h = 30

आयतन = πr²h

= 22/7  × 7 × 7 × 30

= 4620 घन मीटर

प्रश्न (7) - यदि किसी बेलन की त्रिज्या को 50% कम करके उसकी ऊंचाई में 50% की वृद्धि कर दी जाए तो नए बेलन के आयतन में कितने प्रतिशत की कमी अथवा वृद्धि होगी?

माना बेलन का प्रांभिक आयतन = πr²h

त्रिज्या में 50% की कमी

    = r × 50/100

     = r/2

ऊंचाई में 50% की वृद्धि

   =  h × 150/100

   = 3h/2

अब नया आयतन =

     =     π × r/2 × r/2 × 3h

    = 3/8 πr²h

बेलन के आयतन में % कमी -

= बेलन के आयतन में कमी / प्रारम्भिक आयतन

(3/8πr²h)/ (πr²h )× 100

= 62.5% की कमी.