शंकु

शंकु वह आकृति है जिसका पार्श्व पृष्ठ वक्र और आधार वृत्त हो ।

शंकु की तिर्यक ऊंचाई = √(r² + h²)
जहाँ r आधार के वृत्त की त्रिज्या और h शंकु की ऊंचाई है।

शंकु का तिरछा पृष्ठ अथवा वक्र पृष्ठ = π × त्रिज्या × तिर्यक ऊंचाई

= πrl

सम्पूर्ण पृष्ठ = वक्र पृष्ठ + आधार का क्षेत्रफल

= πrl + πr²

= πr (r+l)

शंकु का आयतन = 1/3 आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई

= 1/3 πr²h

प्रश्न (1)- एक शंकु की त्रिज्या 7 मीटर है उसकी तिर्यक ऊंचाई 12 मीटर है शंकु का आयतन तथा संपूर्ण सतह ज्ञात कीजिए ?

शंकु का आयतन = 1/3 πr²h

आयतन ज्ञात करने के लिए h का होना आवश्यक है ।
हम तिर्यक ऊंचाई से ऊंचाई ज्ञात करेंगे

लम्बाई = √(l² - r²)

= √(12² - 7²)

= √(95)

=9.75 m

आयतन = 1/3 πr²h

= 1/3 × 22/7 × 7 × 7  × 9.75

=500.5घन मीटर

सम्पूर्ण पृष्ठ = πr ( r +l )

=  22/7 × 7  ( 7 +12 )

=  22 × 19

= 418 वर्ग मीटर

प्रश्न (2)- किसी समकोण वृत्काकार शंकु का व्यास 14 मीटर है इसकी तिर्यक ऊंचाई 12 मीटर है इसका

(1) वक्र सतह क्षेत्रफल

(2) कुल सतह का क्षेत्रफल

(4)आयतन  ज्ञात कीजिये ?

(1)वक्र सतह का क्षेत्रफल = πrl

= 22/7 × 7 × 12

=264 वर्ग मीटर

(2)  कुल सतह का क्षेत्रफल = πr (r+l)

= 22/7 × 7 ( 7 + 12 )

= 22 × 19

= 418 वर्ग मीटर

(3) आयतन = 1/3 πr²h

h नही दिया है अत: पहले h ज्ञात करेंगे।

h = √(l² - r²)

= √(12² -7²)

= √(95)

= 9.75 मीटर

आयतन = 1/3 ×(22/7) × 7 ×7 × 9.75

= 500.5 घन मीटर

प्रश्न (3) - एक शंकु की ऊंचाई 3 मीटर तथा त्रिज्या 4 मीटर है शंकु की तिर्यक ऊंचाई एवं तिरछा पृष्ठ ज्ञात कीजिए?

शंकु की तिर्यक ऊंचाई = √(r² + h²)

= √(4² + 3²)

= √(25)

=5 m

वक्र पृष्ठ = πrl

= 22/7 × 4 × 5

= 62.85 वर्ग मीटर

नोट - जब किसी प्रश्न में तम्बू लगाने की बात करता है तो हम वक्र पृष्ठ ज्ञात करते है न कि सम्पूर्ण पृष्ठ। 

छिन्नक का वक्र पृष्ठ = π(r+R)l

छिन्नक का सम्पूर्ण पृष्ठ =  वक्र पृष्ठ + πr² + πR²

                           = π ( r + R ) l  + ( r² + R² )

आयतन = π( r² + R² + r R ) h/3

छिन्नक का सूत्र भी संकु के सूत्र की तरह होता है यहाँ r के स्थान पर r + R का प्रयोग करते है ।

जहाँ r आधार की त्रिज्या तथा R ऊपर काटे गये सिरे की त्रिज्या।

जब किसी शंकु को आधार के समानंतर ऊपर काटने पर बनने वाली वाली आकृति को छिन्नक कहते है ।