औसत

औसत - सजातीय राशियों का औसत उन राशियों के योगफल और राशियों की संख्या के अनुपात के बराबर होता है।

औसत = राशियों का योग फल ÷ राशियों की संख्या

● प्राम्भिक प्राकृतिक संख्याओ का औसत ???

प्रथम n संख्याओ का औसत = n+1  ÷ 2 होता है   ( n+1/2 ) ।

जैसे प्रथम 3 संख्याओ का औसत ?

3+1/2  = 2

प्रथम 3 प्राकृतिक संख्या 1 2 3

औसत= संख्याओ का योगफल ÷  संख्याओ की संख्या

1+2+3 /3 =  6/3 = 2 ans

● प्रथम  n समसंख्याओ का औसत = n+1

जैसे -  प्रथम 4 सम संख्याओ का औसत ??

4+1 = 5

प्रथम 4 सम संख्या 2, 4, 6, 8

औसत= 2+4+6+8 / 4

      20/4 = 5 ans

● प्रथम n विषम संख्याओ का औसत  = n

जैसे - प्रथम 3 विषम संख्याओ का औसत ??

3

प्रथम तीन विषम संख्याए  1, 3, 5,

औसत = 1+3+5 /3

      9/3 = 3 ans

● आधारित प्रशन ।

1. किसी कक्षा में 25 विद्यार्थी है जिनका औसत वजन 20 kg है । उस कक्षा के छत्रो का कुल वजन क्या होगा ?

कुल वजन = कुल संख्या × औसत वजन

               25 × 20 = 500kg

2. किसी परिवार में पिता की आयु 40 वर्ष  माता की आयु 36 वर्ष , तथा दो पुत्रो की आयु क्रमश: 10 और 4 वर्ष है तो परिवार की कुल औसत आयु क्या होगी ??

औसत आयु = लोगो की कुल आयु ÷ लोगो की कुल संख्या

      40+36+10+4 ÷ 4    =    90 /4 =  22.5 ans

● समूह में किसिस नये व्यक्ति के आने पर औसत में परिवर्तन।

1. किसी 11 सदसीय टीम की औसत आयु 22 वर्ष है और कोच के आ जाने पर औसत में 3 की वृद्धि हो जाती है तो कोच की आयु क्या होगी ?

हल करने की विधि - पहले कुल आयु = सदस्यों की संख्या × औसत आयु

                                 11×22=242

कोच के आ जाने के बाद कुल आयु -  अब कुल सदस्यों की संख्या × ( औसत + औसत में वृद्धि )

12 × ( 22+3 ) = 300

कोच की आयु  - कोच के आने के बाद कुल आयु - पहले की कुल आयु

       300- 242 = 58 ans

इसे इस प्रकार भी हल कर सकते है

कुल सदस्यों की संख्या × औसत में वृदि  + नये व्यक्ति के आने के बाद औसत

11× 3 +25

= 58 ans

● जब नये व्यक्ति के आने पर औसत मे कमी हो ।

1. किसी कक्षा में 10 छात्रो की औसत आयु 20 वर्ष थी एक नये छात्र के आने पर औसत में  में 3 की कमी हो गयी तो नये छात्र की आयु क्या होगी ?

पहले छात्रो की संख्या × पहले औसत आयु  - छात्र के आने के बाद छात्रो की संख्या × ( औसत आयु - कमी )

10 ×20 - 11 ×17

=13 ans

● यदि किसी व्यक्ति  के  समूह से निकलने पर औसत में कमी  हो तो निकलने वाले व्यक्ति की आयु -

कुल व्यक्तियों की संख्या × औसत  - व्यक्ति के निकल जाने के बाद संख्या × ( औसत - औसत में कमी )

● यदि किसी व्यक्ति के निकल जाने पर औसत में वृद्धि हो तो निकलने वाले की आयु -

[पहले कुल व्यक्तियों की संख्या × औसत] - [निकलने के बाद संख्या ×  औसत +औसत में वृद्धि ]

● जब समूह में  एक साथ कई लोग शामिल हो तो उनकी आयु -

1. 20 व्यक्तियों की औसत आयु 25 वर्ष है 20 वर्ष औसत आयु के 5 व्यक्ति और आ गये तो सबकी औसत आयु क्या होगी ?

ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों की कुल आयु निकाल कर जोड़ लेते है तथा सदस्यओ की कुल संख्या से भाग दे देते है

(पहले व्यक्तियों की संख्या × उनकी औसत आयु )      +      ( दुसरे व्यक्तियों की संख्या × उनकी औसत आयु  )   ÷  (पहले व्यक्तियों की संख्या + दुसरे व्यक्तियों की संख्या )

20×25   +    5 ×20  ÷  20 +5

= 600÷25 

= 24 ans

● जब समूह में कुछ व्यक्तियों की संख्या ज्ञात करनी हो ।

1. किसी कक्षा  में 60 छात्रो का औसत भार 55kg है यदि लडकियों का औसत भार 50 kg है  तथा लडको का औसत  65 kg है  तो लडको और लडकियों की अलग अलग संख्या बताइए ?

ऐसे प्रश्नों में  कुल औसत भार में से लड्कियओ का औसत भार घटाने पर पर लडको का अनुपात तथा कुल औसत भार से लडको का औसत भार घटाने पर लडकियों  का  अनुपात मिल जाता है

तथा कुल कक्षा के छात्रो की संख्या से तुलना कर के अलग अलग संख्या प्राप्त कर लेते है

जैसे लडकियों का अनुपात = कुल औसत - लडको का औसत

55- 65  = 10  ( घटाव सदैव धनात्मक लिखा जाता है )

लडको का अनुपात = कुल औसत - लडकियों की औसत

55 - 50 = 5

लडकियों और लडको का अनुपात = 10:5 = 2:1

लडकियों की संख्या =  छात्रो की कुल संख्या × लडकियों का अनुपात ÷ कुल अनुपाती योग

   60 ×2 ÷3  = 40

लडको की संख्या = छात्रो की कुल संख्या × लडको का अनुपात ÷ कुल अनुपाती योग

60 ×1 ÷ 3  = 20 ans

● जब बीच की संख्या ज्ञात करनी हो

1.     12 संख्यऔ का औसत 20 है प्रथम 5 का औसत 18 है और अंतिम 6 संख्याओ का औसत 22 है छठी संख्या क्या होगी ??

इस प्रकार के प्रश्नों में  हम 11 संख्याओ का योग निकाल कर 12 संख्याओ के योग से घटा देते है ।

( कुल संख्या × औसत ) -  ( ( प्रथम n संख्या × औसत    +   अंतिम n संख्या × औसत )

12 × 20    -      5× 18   +   6×22

240 - 90+132       = 18  ans

●  जब किसी व्यक्ति के स्थान पर दूसरा व्यक्ति आये तो औसत में परिवर्तन।

एक नाव में 10 नाविकों में से 58 kg के एक नाविक के स्थान पर एक दूसरा नाविक आ गया तो कुल औसत भार में 1.2 की वृद्धि हो गयी नये नाविक का भार ज्ञात करो ??

(कुल संख्या × औसत में वृद्धि ) + जाने वाले नाविक का भार

10× 1.2   + 58

12 +58

= 70 ans

● क्रिकेट पर आधारित प्रशन ।

1. किसी खिलाडी ने 16 परियो में कुछ रन बनाये  17 व़ी पारी में 87 रन बनाये तो तो इससे उसके औसत में 3 की वृद्धि हो गयी  तो 17व़ी पारी के बाद  उसका औसत कितना होगा ?

17व़ी पारी में 87 रन बनाने के बाद  के बाद औसत में 3 की वृद्धि हुयी अर्थात उसने 3 , 3 रन 16 परियो को दे दिए

तो 17व़ी पारी का औसत =

87 - 16×3 = 39 ans

2. एक क्रिकेट खिलाडी के 10 मैचो का औसत रन 38.9 था यदि पहले 6 मैचो का औशत रन 42 हो तो अंतिम 4 मैचो का औसत रन क्या होगा ?

10 परियो का कुल रन = 10 × 38.9 = 389

6  परियो का कुल     = 6×42 = 252

4 परियो का कुल रन = 389 - 252 = 137

4 परियो का औसत रन  = 137÷ 4 = 34.25 ans

● जब गलती  से संख्या कम या अधिक लिख दी जाये तो सही औसत ज्ञात करना ।

1. जब गलती से अधिक लिख दिया जाय ।

किसी छात्र ने 5 संख्याओ का औसत ज्ञात करने में 45 के स्थान पर 54 लिख दिया उसके द्वारा प्राप्त किया गया औसत 52 है  तो सही औसत क्या होगा ?

इस प्रकार के प्रश्नों में देखते  है की कितना अधिक या कम लिखा गया है जितना कम या अधिक लिखा गया होता है उसे nसंख्या  और प्राप्त औसत के गुणनफल में क्रमश: जोड़ व् घटा देते है फिर उसे n संख्या से भाग दे देते है ।

जैसे - 45 के स्थान पर 54 लिखा अर्थात 9 ज्यादा लिखा

गलत योगफल = संख्या × औसत

5×52= 260

सही योग = गलत योगफल - ज्यादा लिखी गयी संख्या

260-9 = 251

सही औसत =  251÷5 = 50.2ans

2. जब कम लिख दिया गया हो।

किसी छात्र ने 5 संख्याओ का औसत निकलते हुए 20 प्राप्त किया किन्तु भूल बस उसने 22 के स्थान पे 17 लिख दिया था सही औसत ज्ञात करे?

कुलयोग = 5×20=100

कम लिखा =  22-17 = 5

सही योगफल = 100+ 5 =105

सही औसत = 105÷5 = 21 ans

● जब दो या अधिक संख्याओ को गलत लिखा गया हो ।

10 संख्याओ का औसत 50 है किन्तु गणना करते समय 63 के स्थान पर 36 और 35 के स्थान पर 53 लिख दिया गया था सही औसत ज्ञात करो ?

पहले दिए गये संख्या और प्राप्त औसत को गुणा करके कुल योग प्राप्त करते है।

फिर गलती से लिखे गये संख्याओ को घटा कर देखते है की कितना कम तथा कितना अधिक लिखा गया है

फिर तुलना करके देखते है की परिणामी अधिक लिखा गया है य कम

यदि कम लिखा होता है तो कुल योगफल में जोड़ कर तथा अधिक लिखा होता है तो घटा कर दी गयी n संख्या से भाग दे देते है

जैसे - कुल योगफल = 10×50 = 500

63 के स्थान पर 36   =  27 कम लिख गया

35 के स्थान पे 53   = 18 अधिक लिखा गया

परिणामी  = 27- 18  = 9  कम लिखा गया है।

सही योगफल = 500+9 = 509

सही औसत = 509÷10 = 50.9 ans