मास्टर क्लास: अनुपात और समानुपात (Ratio & Proportion)
अनुपात और समानुपात
विस्तार से समझें: अनुपात (Ratio) क्या है?
अनुपात का मतलब है दो चीज़ों की तुलना करना (Comparison)। यह बताता है कि एक चीज़ दूसरी चीज़ के मुकाबले कितनी ज्यादा या कम है। इसे ( : ) चिन्ह से दर्शाया जाता है।
उदाहरण से समझें: अगर चाय बनाने के लिए आप 2 कप पानी और 1 कप दूध मिलाते हैं, तो पानी और दूध का अनुपात 2:1 हुआ। यानी हर 1 कप दूध के लिए 2 कप पानी चाहिए।
समानुपात (Proportion) क्या है? जब दो अनुपात आपस में बराबर हों, तो उसे समानुपात कहते हैं। (जैसे 2:4 और 1:2 आपस में बराबर हैं)।
पैसे बाँटने का सूत्र
अगर कोई रकम X को A:B में बाँटना हो:
समानुपात का नियम
अगर A : B = C : D है, तो:
10 व्यावहारिक सवाल (Word Problems):
- ₹1000 को राम और श्याम के बीच 3:2 के अनुपात में बाँटें।
उत्तर: कुल हिस्से 5। राम = (3/5)×1000 = ₹600, श्याम = (2/5)×1000 = ₹400 - एक क्लास में लड़के और लड़कियों का अनुपात 4:5 है। अगर कुल 45 छात्र हैं, तो लड़कियां कितनी हैं?
उत्तर: कुल हिस्से 9। लड़कियां = (5/9)×45 = 25 - चाय में पानी और दूध का अनुपात 3:1 है। अगर 12 लीटर पानी है, तो दूध कितना लगेगा?
उत्तर: 3 हिस्से = 12 लीटर (1 हिस्सा=4L)। तो दूध = 4 लीटर - एक त्रिकोण (Triangle) के कोणों का अनुपात 1:2:3 है। सबसे बड़ा कोण क्या है? (कुल योग=180°)
उत्तर: कुल हिस्से 6। सबसे बड़ा कोण = (3/6)×180 = 90° - दो संख्याओं का अनुपात 5:7 है और उनका योग 120 है। संख्याएं क्या होंगी?
उत्तर: कुल हिस्से 12। पहली = 50, दूसरी = 70 - A और B ने 2:3 के अनुपात में निवेश (Invest) किया। ₹5000 के लाभ में B का हिस्सा क्या होगा?
उत्तर: (3/5) × 5000 = ₹3000 - X और Y की सैलरी का अनुपात 4:5 है। अगर X की सैलरी ₹20,000 है, तो Y की कितनी है?
उत्तर: 4 हिस्से = 20k (1 हिस्सा=5k)। Y की सैलरी = 5 × 5k = ₹25,000 - पिता और पुत्र की आयु का अनुपात 3:1 है। दोनों की कुल आयु 60 वर्ष है। पुत्र की आयु बताएं।
उत्तर: कुल हिस्से 4। पुत्र = (1/4)×60 = 15 वर्ष - यदि 5 पेनों की कीमत ₹50 है, तो 8 पेनों की कीमत क्या होगी? (समानुपात: 5:50 :: 8:x)
उत्तर: 5x = 50×8 -> x = 400/5 = ₹80 - सोने और तांबे को 7:2 के अनुपात में मिलाया गया। 90 ग्राम आभूषण में सोना कितना है?
उत्तर: (7/9) × 90 = 70 ग्राम
Understand in Detail: What is a Ratio?
Ratio means comparing two quantities. It tells us how much of one thing there is compared to another. It is denoted by the ( : ) symbol.
Example: If you mix 2 cups of water and 1 cup of milk to make tea, the ratio of water to milk is 2:1. This means for every 1 cup of milk, you need 2 cups of water.
What is Proportion? When two ratios are equal, they are said to be in proportion. (e.g., 2:4 is equal to 1:2).
Formula to Divide an Amount
To divide amount X in the ratio A:B :
Rule of Proportion
If A : B = C : D, then:
10 Practical Word Problems:
- Divide ₹1000 between Ram and Shyam in 3:2.
Ans: Total parts 5. Ram = (3/5)×1000 = ₹600, Shyam = (2/5)×1000 = ₹400 - Boys and girls in a class are in a 4:5 ratio. Total students 45. Find the girls.
Ans: Total parts 9. Girls = (5/9)×45 = 25 - Water to milk ratio in tea is 3:1. If there is 12L water, how much milk is needed?
Ans: 3 parts = 12L (1 part = 4L). Milk = 4 Liters - Angles of a triangle are in a 1:2:3 ratio. What is the largest angle? (Sum=180°)
Ans: Total parts 6. Largest = (3/6)×180 = 90° - Two numbers are in 5:7 ratio and their sum is 120. Find the numbers.
Ans: Total parts 12. First = 50, Second = 70 - A and B invested in a 2:3 ratio. Out of ₹5000 profit, what is B's share?
Ans: (3/5) × 5000 = ₹3000 - Salary ratio of X and Y is 4:5. If X gets ₹20,000, what is Y's salary?
Ans: 4 parts = 20k. Y's salary = 5 × 5k = ₹25,000 - Father to son age ratio is 3:1. Total age is 60. Find son's age.
Ans: Total parts 4. Son = (1/4)×60 = 15 years - If 5 pens cost ₹50, what is the cost of 8 pens? (Proportion 5:50 :: 8:x)
Ans: 5x = 400 -> x = ₹80 - Gold and copper are mixed in 7:2. In a 90g ornament, how much is gold?
Ans: (7/9) × 90 = 70 grams
1. हिस्से बाँटें (Divide Amount in Ratio)
2. समानुपात खोजें (Find Missing 'X')
A : B = C : X
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