विभाज्यता के नियम

विभाज्यता के नियम

• 2 से विभाज्यता के नियम- किसी  संख्या का इकाई का  अंक 0 अथवा सम संख्या होगी तो वह 2 से विभाजित  होगा।

 उदाहरण - 20, 22, 172728618, 4246831514 आदि 2 से पूर्णतया विभाजित होगी।

• 3 से विभाज्यता का नियम - किसी  संख्या के अंको का योग 3 से    विभाजित होगी तो वह संखया  भी 3 से विभाजित होगी।
• उदाहरण -  123 , 534 , 156 आदि 3 से विभाजित होगी।

123  के अंको का योग = 1+2+3 = 6 , 6 तीन से विभाजित होगा अतः 123 भी 3 से विभाजित होगा।

• 4 से विभाज्यता के नियम -किसी सँख्या का अंतिम 2 अंक 0 हो    अथवा 4 से विभाजित हो तो वह सँख्या 4 से  विभाजित होगी।
• उदाहरण - 2000 , 4626564 ,1562716

2000 में अंतिम 2 अंक 0 है अतः यह 4 से विभाजित होगा।

4626564 में अंतिम 2 अंक 64 , 4 से विभाजित होगा अतः यह संख्या भी 4 से विभाजित होगी।

• 5 से विभाज्यता के नियम - किसी संख्या के इकाई का अंक 5 अथवा 0 हो तो वह 5 से विभाजित होगी।
• उदाहरण - 5272680,  41661475, 517170

• 6 से विभाज्यता के नियम - यदि कोई स 2 और 3 से विभाजित होती है तो वह 6 से भी  विभाजित  होगी।

• 8 से विभाज्यता के नियम - किसी सँख्या का अंतिम 3 अंक यदि 8   से   विभाजित होगा तो वह सँख्या  भी 8 से विभाजित होगी।

• 9 से विभाज्यता के नियम -  किसी संख्या के अंको का योग 9 से विभाजित होगा तो वह संख्या भी 9 से विभाजित होगी।

• 11 से विभाज्यता का नियम - किसी संख्या में दाहिनी ओर से सम स्थानों  पर स्थित अंको का योग और  विििषम  स्थानों पर    स्थित   अंको   केे  योग  का    अंतर 0 अथवा 11 हो तो वह संख्या 11 से विभाजित   होगी।

उदहारण – 3582568

•    हम पीछे से सम स्थानिक ( जिन की क्रम संख्या सम हैं ) को जोड़ते है
  और विषम स्थानिक संख्या को जोड़ कर विषम स्थानिक संख्या के योग से सम स्थानिको के योग को घटा देते है ।
  यदि प्राप्त संख्या 0 अथवा 11 से विभाजित होने वाली प्राप्त होती है तो वह 11 से विभाजित होगी अन्यथा नही।

•  कोई  संख्या जो किसी संख्या के गुणको से विभाजित होगी तो वह उस संख्या से भी अवश्य विभाजित होगी।

जैसे . जो संख्या 3 और 2 दोनों से विभाजित हो जाये वह 6 से अवश्य विभाजित होगी ।

2 और उसके घात से बने संख्याओ के विभाजित होने के नियम :-

कोई भी संख्या 2घातेn से विभाजित होगी यदि उसका अंतिम n अंक 2घाते n से विभाजित हो।

उदाहरण :कोई संख्या 2घाते3 अर्थात ( 8) से विभाजित होगी जब की उसके अंतिम 3 अंक 2घाते3 अर्थात ( 8 ) से विभाजित हो।

कोई संख्या 2घाते4 अर्थात ( 16 ) से तभी विभाजित होगी जब उसका अंतिम 4 अंक 16 से विभाजित हो।

32 से तब विभाजित होगी जब उसका अंतिम 5 अंक 32 से विभाजित हो चूकी 32= 2घाते5

प्रश्न -. 999 अंको वाली एक संख्या N का प्रथम और अंतिम अंक 3  है और वह 11 से विभाज्य है तो ठीक बीचो बीच वाला अंक कितना होगा?

हल करने की विधि –

1. पहले चरण में n+1/2 से ज्ञात करते है की बीचो वीच वाली संख्या सम है अथवा विषम

यदि संख्या विषम प्राप्त होती है तो उसका मान ज्ञात नही किया जा सकता ।

यदि संख्या सम प्राप्त होती है तो

बीच की संख्या = प्रथम सख्या + अंतिम संख्या

अत: यह प्रश्न 999+1 / 2 = 500

500 सम संख्या है अत: बीच की संख्या ज्ञात की जा सकती है।

बीच की संख्या = 3+3 = 6 Ans।

प्रश  -वह सवसे छोटी संख्या ज्ञात करे जो 9 से विभाजित होती है और उसका प्रथम अंक 1 तथा बाद के सभी अंक 7 है??

हम जानते है की संख्या 9 से तभी विभाजित होगी जब उसका योगफल 9 से विभाजित हो ।

प्र्श्नानुसार आगे का अंक 1 है पीछे सभी अंक 7 है।

1+7+7+7+……. हम 7 को तब तक जोड़ते जायेंगे जब तक की उनका योगफल 9 से विभाजित होने वाली संख्या न प्राप्त हो जाये।

प्रश्न:- 3 निम्न में से कौन सा 99 से पूर्णतय: होगा?
a. 23414886

b. 23415775

c.23415221

d. 23415188

हल - 99 से वह संख्या अवश्य विभाजित होती है जो 9 और 11 दोनों से विभाजित हो।

अब हम ज्ञात करेंगे 9 से कौन विभाजित होगी।

4. निम्न में x की जगह कौन सा अंक रखा जाये की संख्या 11 से पूर्णतया विभाजित हो जाये?

57605×9

विषम संख्या – सम संख्या = 0 अथवा 11 से विभाजित होने वाली संख्या।

5+6+5+9 – 7+0+x = 0 ,11, 22, …..

x = 7