वर्ग / वर्गमूल

वर्ग - यदि कोई संख्या स्वयं से गुंणित होती है तो उसके गुणन फल को उस संख्या का वर्ग कहते है।
जैसे - a×a = a²  अर्थात a², a का वर्ग है।
वर्गमूल - किसी वर्ग संख्या के सापेक्ष उसके मुल्य को वर्गमूल कहते है।
वर्ग ज्ञात करना :-
type1.दो अंको की संख्या जिस संख्या के इकाई का अंक 5 हो -
25²= 625   [2×3 5×5]
करने की बिधि
1. इकाई का अंक 5 है तो 5को 5 से गुणा कर के लिखते है.
2. दहाई के अंक में 1 जोड़ कर दहाई के अंक से गुणा कर के लिख देते है ।
जैसे - 25 का वर्ग ज्ञात करने के लिए 5×5=25 पीछे लिखते है।
तथा दहाई के अंक में 1 जोड़ कर गुणा करते है
यहा दहाई का अंक 2 है तो दो में 1 जोड़ कर गुणा 2+1 =3 
2×3 = 6
25² = 625
नोट- इसी को उल्टा कर के वर्गमूल भी ज्ञात कर सकते है।
जिस संख्या के दहाई और इकाई का अंक 25 हो का वर्गमूल ज्ञात करना।
11025 = 105²     
करने की विधि -
1. अंतिम अंक 25 के लिए 5 रखते है
2 . अब देखते है की आगे वाली संख्या किन दो क्रमागत संख्याओ का गुणन फल है उसकी छोटी संख्या को लिख देते है ।
15625 का वर्गमूल
25 के लिए 5 लिखते है
156,  12और 13 का गुणनफल है अत: छोटी संख्या 12 लिखते है
वर्गमूल = 125
25 के आगे की संख्या किन दो क्रमागत संख्या का अनुमान लगाना ।
1. यदि इकाई का अंक 2 है तो दोनों संख्याओ के इकाई का अंक (1,2)  ( 3,4 ) (6,7)  (8,9)
1. - (1,2)  अर्थात 1×2     11×12      21×22   31×32    41×42…………
………………
2.- (3,4)   3×4   13×14    23×24  33×34    43×44 …………………
3.- (6,7)  6×7     16×17     26×27     36×37 ………………………
4.- (8,9)  8×9   18×19   28×29  38×39 ………………
…
2. यदि इकाई का अंक 6 हो तो दो क्रमागत गुणको के इकाई का अंक (2,3)  या (7,8) होगा।
(2,3) - 2×3    12×13    22×23  32×33………………………
(7,8) - 7×8    17×18  27×28 ………………………
3. यदि इकाई का अंक 0 हो तो दो क्रमागत गुनको के इकाई का अंक (4,5) या (5,6)
(4,5) - 4×5   14×15  24×25………………
(5,6) - 5×6   15×16   25×26   ………………
नोट-  यदि 25 के आगे अर्थात बाई ओर की संख्या का इकाई का अंक 1 , 2 ,4 ,5, 7, 8, 9 है तो वह संख्या पूर्णवर्ग नही होगी।
type2-दो अंको की  जिन संख्याओ के इकाई का अंक 5 न हो का वर्ग ज्ञात करना।
इस प्रकार की संख्या का वर्ग निम्न सूत्र से ज्ञात करते है।
a का वर्ग,  2ab , b का वर्ग
करने की विधि:-
जैसे 24 का वर्ग ज्ञात करने के लिए 2(दहाई) को a और 4 (इकाई) को b मान लेते है।
2. सूत्र को दाई ओर से हल करते है।
b का वर्ग = 4×4 =16 ,  16 का 6 , और एक हासिल।
2ab = 2×2×4 =16,   16+1 हासिल =17,  17 का 7 और 1 हासिल
a का वर्ग = 2×2 =4     4+1हासिल =5
24 का वर्ग = 576
महत्वपूर्ण तथ्य :-
1.प्रथम n बिषम संख्याओ का योगफल सदैव पूर्णवर्ग होता है।
2. प्रथम n संख्याओ के घनो का योग सदैव पूर्णवर्ग होता है
प्रथम n संख्याओ के घनो का योग उन संख्याओ के योगफल के वर्ग के बराबर होता है।
3. किसी भी पूर्णवर्ग संख्या के इकाई का अंक सदैव 1 ,4 ,5 ,6 ,9 या सम अंको में 0 होगा।


वर्गमूल ज्ञात करना :-
1. गुणनखंड विधि - इस विधि में LCM की तरह न्यूनतम गुनको में संख्या को विभाजित करके दो- दो का जोड़ा बनाते है
जिन संख्याओ का जोड़ा बन जाता है उनका गुणा कर लेते है
बाकि की संख्या को छोड देते है ।
प्रयोग :- इसका प्रयोग निम्न प्रकार के प्रश्नों में किया जाता है।
1. n संख्या में किस न्यूनतम संख्या से गुणा कर दिया जाये की संख्या पूर्णवर्ग हो जाये?
(  इस प्रकार के प्रश्नों में गुणनखंड द्वारा वर्गमूल ज्ञात करते है जिन संख्या का जोड़ा नही बनता व्ही संख्या उत्तर होती हैं)
2. किस संख्या से भाग दे की संख्या पूर्णवर्ग बन जाये।
( जिसका जोड़ा नही बनता वही संख्या )
2.भाग विधि -
3. लघु विधि -
निम्न चरणों में ज्ञात किया जाता है
चरण1. वर्ग मूल के अंको का निर्धारण
संख्या के अंको के सम होने पर ,  n/2
जैसे 4 अंको की किसी संख्या के वर्गमूल के अंको की संख्या 2 होगी
4/2 = 2
1225 = 35
संख्या के अंको की संख्या विषम होने पर
(n+1)/2
जैसे 3 अंको की संख्या के वर्गमूल के अंको की संख्या  2 होगी
100 = 10
चरण2. बाई ओर से दो अंको को एक साथ लेते है और देखते है की वह संख्या किन किन अंको के बर्ग के बीच में आता है उन दोनों संख्याओ में से छोटी संख्या को वर्ग मूल के आगे के अंक के रूप में लेते है
जैसे 1024 में आगे के अंक 10 को लेते है
10 , 3 और 4 के बर्गो के बीच आता है अत: छोटी संख्या 3 वर्गमूल के दहाई का अंक होगा।
चरण3. वर्गमूल के इकाई का अंक ज्ञात करना
1. यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 1 है तो उसके वर्गमूल के इकाई का अंक 1 या 9 होगा।
2. यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 4 है तो उसके वर्गमूल के इकाई का अंक 2 या 8 होगा।
3. यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 5 हो तो उसके वर्गंमूल के इकाई का अंक 5 होगा।
4. यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 6 हो तो उसके वर्गमूल के इकाई का अंक 4 या 6 होगा।
5. यदि किसी संख्या के इकाई का अंक 9 हो तो उसके वर्गमूल के इकाई का अंक 3 या 7 होगा।
किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के इकाई का अंक 2 ,3 ,7, 8 नही हो सकता।
इससे इकाई का अंक ज्ञात कर लेते है
1024 के इकाई का अंक 4 है अत: वर्गमूल के इकाई का अंक 2 या 8 होगा।
चरण4. इकाई की छोटी संख्या या बड़ी संख्या का निर्धारण।
ज्ञात किये गये वर्गमूल के दहाई के अक के साथ 5 रख कर वर्ग ज्ञात करते है यदि प्राप्त वर्ग संख्या से अधिक होता है तो छोटी संख्या नही तो बड़ी संख्या वर्गमूल के इकाई का अंक होती है ।
जैसे 1024 के वर्गमूल के दहाई का अंक 3 हैं
तो 3के साथ 5 इकाई रख कर वर्ग ज्ञात करते है
35 का वर्ग = 1225
और संख्या है 1024 जो प्राप्त वर्ग से छोटी है अत: इकाई का अंक छोटी संख्या होगी
1024 का वर्गमूल = 32